Usikkerhedsberegninger: max-min-metoden

Alle målinger er behæftet med en vis usikkerhed. Usikkerheden afhænger af nøjagtigheden af det udstyr der bliver brugt til målingen.

Når en måling er usikker, vil alle efterfølgende beregninger, hvor målingen indgår, være usikre.

Max-min-metoden

Max-min-metoden er en enkel metode til at vurdere, hvor usikker et resultat er, når man kender usikkerheden på målingen/målingerne. Med max-min-metoden vil bestemmelse af usikkerheder, kan man lave en vurdering af et interval efterfølgende beregningers resultater ligger indenfor. Max-min-metoden giver med andre ord en vurdering af usikkerheden på et resultat på baggrund af usikkerheden på de målinger der indgår i beregningen.

Herunder skal vi se lidt nærmere på, hvordan max-min-metoden kan bruges i nogle relevante sammenhænge.

Max-min-metoden - matematisk overblik

Først skal vi bruge en måling: X. Denne måling er dog ikke helt præcis. Det viser sig, at målingen er usikker, så vi bestemmer to værdier, hvor X_min er det mindst mulige X kan måles til og X_max er det størst mulige X kan måles til. X vil derfor ligge i intervallet mellem X_min og X_max.

Det kan matematisk skrives som:

[X_min;X_max] = {x ∈ ℜ | X_min ≤ X ≤ X_max}

Hvilket betyder at X er indeholdt i de reelle tal mellem X_min og X_max (inklusiv).

I fysik skriver vi det lidt anderledes, da vi er mest interesserede i det tal, der bedst beskriver vores resultat, nemlig medianen mellem X_min og X_max. Samtidig er vi også interesserede i at fortælle om intervallet målingen med rimelighed bør ligge indenfor. I fysik skrives det som:

måling = X ± ΔX

Her er X den mest sandsynlige måling (eller medianen i intervallet målingen kan ligge indenfor) og ΔX angiver usikkerheden på målingen (eller differencen mellem medianen og et af yderpunkterne i intervallet målingen kan ligge indenfor).

De to værdier kan beregnes udfra X₁ og X_{2 som følgende:}

X = (X_min + X_max) / 2        og        ΔX = (X_max - X_min) / 2

Samlet set ser det så sådan her ud:

måling = X ± ΔX = (X_min + X_max) / 2 ± (X_max - X_min) / 2

For en god ordens skyld, kan vi også beregne X_min og X_max ud fra X ± ΔX:

X_min = X - ΔX       og       X_max = X + ΔX

Anvendelse af max-min-metoden

I fysik er det sjælden man nøjes med en enkelt måling. Ofte foretages to eller flere målinger, der skal ganges sammen, divideres, lægges sammen m.m. Vi kan nu begynde at arbejde med en beregning, hvor der indgår flere målinger.

To målinger ganges sammen

Først skal vi se, hvordan vi kan bearbejde et resultat med hensyn til usikkerheder, når resultatet er produktet af to målinger (dvs. at de to målinger ganges sammen). Vores resultat beregnes normalt:

S =  X · Y

hvor X og Y er målinger. S kunne f.eks. være arealet af en kvadratisk flade, X er så længden af fladen mens Y er dybden af fladen. Både X og Y er usikre, så vi definerer X = X ± ΔX og Y = Y ± ΔY. På samme måde får vi nu

X_min = X - ΔX       og       X_max = X + ΔX       og

Y_min = Y - ΔY       og       Y_max = Y + ΔY

Vi ønsker at finde resultatet S og usikkerheden ΔS af S, så vi vil starte med at kigge på det interval resultatet S kan ligge indenfor, dvs. mellem S_min og S_max. Den mindste værdi i intervallet er S_min og den findes enkelt nok ved at tage de mindste værdier for X og Y og gange sammen:

S_min = X_min · Y_min

Tilsvarende er den største værdi i intervallet, S_max, som ligeledes findes ved at tage de største værdier for X og Y og gange sammen:

S_max = X_max · Y_max

Som vi så tidligere får vi nu resultatet og usikkerheden på resultatet til:

S = S ± ΔS = (S_min + S_max) / 2 ± (S_max - S_min) / 2

eller

S = S ± ΔS = (X_min · Y_min + X_max · Y_max) / 2 ± (X_max · Y_max - X_min · Y_min) / 2

eller

S = S ± ΔS = ((X - ΔX) · (Y - ΔY) + (X + ΔX) · (Y + ΔY)) / 2 ± ((X + ΔX) · (Y + ΔY) - (X - ΔX) · (Y - ΔY)) / 2

som kan omskrives til:

S = S ± ΔS = (X · Y + ΔX · ΔY) ± (X · ΔY + Y · ΔX)

To målinger divideres

Det er ikke altid at to målinger skal ganges sammen. Mange fysiske størrelser fremkommer som et forhold mellem to målte størrelser, som f.eks. tyngdeaccelerationen, der er forholdet mellem tyngdekraften på et objekt og objektets masse: g = F_t / m.

Man kan på samme måde behandle et resultat med hensyn til usikkerheder, når resultatet er forholdet mellem to målinger (dvs. at de to målinger divideres). Vores resultat kan vi i denne sammenhæng betegne:

S = X / Y

hvor X og Y er målingerne. Som før er både X og Y usikre, og vi ønsker at bestemme resultatet S med usikkerheden ΔS. Vi vil igen starte med at finde S_min og S_max. Denne gang skal vi dog være opmærksomme på, at vi ønsker at finde den mindste værdi for S (S_min) og den største værdi for S (S_max) og det gøres ikke ved, som før, at tage den mindste hhv. den største værdi for de indgående målinger. Vi skal derimod være opmærksomme på at bruge den rigtige værdi.

For at finde den mindste værdi i intervallet, S_min, skal vi bruge den mindste værdi i tælleren, dvs. den mindste værdi for X (X_min), mens nævneren skal være den største værdi for Y (Y_max) for at få resultatet så lille som muligt (når vi dividerer med Y):

S_min = X_min / Y_max

_{Tilsvarende for den største værdi i intervallet}, S_max, skal vi nu bruge den største værdi i tælleren og den mindste værdi i nævneren, for at få den største værdi for resultatet:

S_max = X_max / Y_min

_{Nu kan vi finde det endelige resultat for S med dens usikkerhed med samme formel som før:}

S = S ± ΔS = (S_min + S_max) / 2 ± (S_max - S_min) / 2

eller

S = S ± ΔS = (X_min / Y_max + X_max / Y_min) / 2 ± (X_max / Y_min - X_min / Y_max) / 2

eller

S = S ± ΔS = ((X - ΔX) / (Y + ΔY) + (X + ΔX) / (Y - ΔY)) / 2 ± ((X - ΔX) / (Y + ΔY) - (X + ΔX) / (Y - ΔY)) / 2

som kan omskrives til:

S = S ± ΔS = (X · Y + ΔX · ΔY) / (Y² - ΔY²) ± (X · ΔY + Y · ΔX) / (Y² - ΔY²)

Usikkerhedsberegning eksempler max-min-metoden

Det er lettere at gennemskue hvad vi gør, hvis vi ser på et par enkle eksempler.

Usikkerhedsberegning eksempel: Energi beregnet ud fra effekt og tid

En mængde vand opvarmes til kogepunktet i en el-kedel. Derved tilføres en mængde energi. For at finde ud af, hvor meget energi der er tilført når vandet koger, kan man måle effekten P af elkedlen og den tid t der går til vandet koger, da energien er produktet af effekten og tiden:

E = P · t

Under opvarmningen lægger du mærke til, at effekten ændrer sig. Du finder ud af, at den svinger mellem den mindste effekt P_min = 1197 W og den største effekt P_max = 1215 W. Vi kan derfor skrive effekten op som:

 P = (P_min + P_max) / 2 ± (P_max - P_min) / 2 = (1197 W + 1215 W) / 2 ± (1215 W - 1197 W) / 2 = 1206 ± 9 W

Tiden det tager at koge vandet er jeg heller ikke helt sikker på - hvornår er det lige det når 100 °C? Når de første bobler begynder eller når el-kedlen slår fra? De første bobler begynder efter t_min = 128 s,  mens elkedlen slår fra efter t_max = 142 s. På samme måde kan jeg skrive min kogetid med usikkerheder som:

t = (t_min + t_max) / 2 ± (t_max - t_min) / 2 = (128 s + 142 s) / 2 ± (142 s - 128 s) / 2 = 135 ± 7 s

Nu kan jeg så bruge de to målinger med usikkerheder til at bestemme, hvor meget energi jeg skal bruge på at få vandet til at koge, men det resultat er jo også usikkert, da målingerne er usikre, så nu bliver min energi:

E = E ± ΔE = (P_min · t_min + P_max · t_max) / 2 ± (P_max · t_max - P_min · t_min) / 2

E = E ± ΔE = (1197 W · 128 s + 1215 W · 142 s) / 2 ± (1215 W · 142 s - 1197 W · 128 s) / 2

E = 162873 ± 9657 J = 1629 ± 10 kJ

Energimængden der bruges til at varme vandet op til kogepunktet er altså E = 1629 ± 10 kJ i dette eksempel.

Usikerhedsberegning eksempel: Nyttevirkning beregnet ud fra udnyttet energi og brugt energi

 J. Gaarsmand, januar 2011